¿Qué tan grande es la tierra?

¿Qué tan grande es la tierra?

Por: José Adán Duarte Urbina

En algún momento de nuestra vida nos hemos dispuesto a ver el cielo y pensar en la majestuosidad de nuestro universo, las estrellas y por supuesto de nuestro planeta. Una de las principales preguntas que quizás nos hemos hecho es ¿Qué tan grande es?, ¿Cuánto mide nuestro planeta?, quizás pienses que es imposible de hacerlo ya que no existe una cinta métrica tan larga para poder medirla de una vez, pero ¿qué sería de la vida sin nuestras Matemáticas?

En nuestra vida diaria el concepto medir nos resulta familiar, todos hemos medido algo alguna vez. Hemos medido nuestra estatura con otro compañero, la velocidad en una carrera, el tiempo que nos lleva realizar un trabajo, la cantidad de agua que cabe en una botella, la temperatura de nuestro cuerpo, etc. En todos estos casos lo que hacemos es comparar una cosa con otra, es decir, comparamos una magnitud con respecto a otra. ¡Eso es medir, comparar!

Pero bueno seamos claros, medir el agua en la botella o la estatura de una persona es una cosa muy distinta a medir un planeta entero, entonces, ¿Cómo se puede medir?

Antes de explicarte eso, es importante que sepas sobre un hombre muy importante en la historia de la Matemática, ese hombre se llamó Eratóstenes de Cirene.

Eratóstenes es conocido principalmente por ser la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra, lo que hizo al comparar las altitudes del sol del mediodía en dos lugares separados por una distancia Norte-Sur.

Su cálculo fue notablemente preciso. También fue el primero en calcular la inclinación del eje de la Tierra (nuevamente con notable precisión); además, pudo estimar la distancia desde la Tierra hasta el Sol e ideó intercalar cada cuatro años un día adicional en los calendarios, produciendo el año bisiesto, así que él es el culpable de que existan muchas promesas sin cumplir (…” Lo dejamos para el 29 de febrero”); creó el primer mapa del mundo, incorporando paralelos y meridianos basados en el conocimiento geográfico disponible de su época; como ves este hombre fue y sigue siendo una persona muy importante en la humanidad.

Narra la leyenda (por referencias obtenidas de un papiro) que Eratóstenes, trabajaba en Alejandría, y realizó las primeras mediciones del tamaño de la Tierra hace unos 2200 años. Para ello utilizó un método extraordinariamente simple (casi rudo), mediante el que, sorprendentemente, obtuvo buenos resultados. 

Se sabía que en Siena (hoy Asuán, Egipto) el día del solsticio de verano los objetos verticales  no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba situada justamente sobre la línea del trópico y su latitud era igual a la de la eclíptica que ya conocía.

Eratóstenes, suponiendo que Siena y Alejandría tenían la misma longitud (aunque realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos podían suponerse paralelos, midió la sombra en Alejandría el mismo día del solsticio de verano al mediodía, demostraron que los rayos se desviaban de la vertical en una cincuentava parte del circulo (7,2 grados). Dado que ya los rayos de Alejandría eran paralelos a los de Siene (debió observar que la distancia al sol sobrepasaba mucho al radio de la tierra), la diferencia de ángulo tenía que ser el resultado de la curvatura de la tierra.

Así pues, para hallar la circunferencia de la tierra lo único que tenía que hacer Eratóstenes era deducir la relación de este ángulo y 360 grados, e igualarla con la razón entre la longitud del arco que separa ambas ciudades y la circunferencia de la Tierra. Sin embargo, no fue fácil encontrar la distancia entre una y otra ciudad.

Dando pruebas de un gran ingenio. Eratóstenes midió la distancia tomando como base el tiempo que tardaban los camellos en ir de una ciudad a otra, que eran 50 días aproximadamente. Sabiendo qué recorrido hacia un camello en un día, pudo calibrar la distancia entre Alejandría y Siene, fijándola en 5000 estadios (el estadio es una medida antigua que equivale a 157,5 metros).

Con esta información, Eratóstenes aplicó principios de geometría: el ángulo de los rayos del Sol entre las dos ciudades es de 7, 2º lo que equivale a 1/50 de una circunferencia de 360º; por lo tanto, la distancia entre Alejandría y Siena (5000 estadios) debe ser 1/50 de la circunferencia total de la Tierra, o sea, 5000 estadios multiplicados por 50 y luego dividido por 1000 para obtener el dato en kilómetros se obtiene 39375 km. El cálculo de Eratóstenes es muy cercano al resultado obtenido por las mediciones modernas las cuales aproximan la circunferencia de la Tierra a 40000km. 

Admitiendo que Eratóstenes usase el estadio ático-italiano de 184,8 m, que era el que solía utilizarse por los griegos de Alejandría en aquella época, el error cometido sería de 6200 kilómetros (un 15 %). Sin embargo, hay quien defiende que empleó el estadio egipcio (300 codos de 52,5 cm), en cuyo caso la circunferencia calculada hubiera sido de 39375 km (como se explicó anteriormente), frente a los 40000 km considerados en la actualidad, propone un error del 1%.

Ahora bien, es lógico que Eratóstenes no diera con la medida exacta de la circunferencia de la Tierra debido a ciertos errores en los cálculos; supuso que la Tierra es perfectamente esférica, lo que no es cierto. Un grado de latitud no representa exactamente la misma distancia en todas las latitudes, sino que varía ligeramente de 110,57 km en el Ecuador hasta 111,7 km en los Polos. Por eso no podemos suponer que 7º entre Alejandría y Siena representen la misma distancia que 7º en cualquier otro lugar a lo largo de todo el meridiano.

Realmente Siena no está ubicada exactamente sobre el paralelo del trópico de cáncer (los puntos donde los rayos del sol caen verticalmente a la tierra en el solsticio de verano). Actualmente se encuentra situada a 72 km (desde el centro de la ciudad). Pero debido a que las variaciones del eje de la Tierra fluctúan entre 22,1° y 24, 5º en un período de 41000 años, hace 2000 años se encontraba a 41 km.

La medida de la sombra que se proyectó sobre la vara de Eratóstenes hace 2200 años debió ser de 7,5º o 1/48 parte de una circunferencia y no 7,2º o 1/50 parte, puesto que en aquella época no existía el cálculo trigonométrico, para calcular el ángulo de la sombra, Eratóstenes pudo haberse valido de un compás​ para medir directamente dicho ángulo, lo que no permite una medida tan precisa.

Si se rehace el cálculo de Eratóstenes con la distancia y medida angular exacta desde Alejandría hasta el lugar geográfico situado justo en la intersección del meridiano que pasa por Alejandría con el paralelo del trópico de cáncer, se obtiene un valor de 40074 km para la circunferencia terrestre. ​ Eso representa solamente 66 km o un 0,16% de error de la circunferencia real de la Tierra medida por satélites avanzados, que es de 40008 km, lo que demuestra la validez de su razonamiento. Esta ligera diferencia se debe a que la distancia entre Alejandría y la línea del trópico de cáncer es 1/46 parte de una circunferencia, pero la Tierra no es una esfera perfecta.

El trabajo de Eratóstenes es considerado por algunos el primer intento científico en medir las dimensiones de nuestro planeta,​ ya que se hicieron otros cálculos y se perfeccionaron siglos después por estudiosos tales como el califa Al-Mamun y Jean François Fernel.